Ta có thể sử dụng định lí Ptolemy để giải quyết bài toán này.

Gọi đường chéo AC cắt đường chéo BD tại O. Ta có:

- Tam giác AOB vuông tại O, nên AO² + OB² = AB².
- Tam giác COD vuông tại O, nên CO² + OD² = CD².

Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác ABCD, ta được:

AB⋅CD + BC⋅AD = AC⋅BD

Thay AB = 2OM, BC = 2NP, CD = 2PQ, AD = 2NQ, AC = 2OP, BD = 2OQ, ta được:

2OM⋅2PQ + 2NP⋅2NQ = 2OP⋅2OQ

Simplify:

OM⋅PQ + NP⋅NQ = OP⋅OQ

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ONP, ta được:

NP² = NO² + OP² - 2NO⋅OP⋅cos(∠NOP)

Áp dụng định lí cosin cho tam giác OMQ, ta được:

OM² = MO² + OP² - 2MO⋅OP⋅cos(∠MOP)

Do đó:

OM⋅PQ + NP⋅NQ = OP⋅OQ

tương đương với:

MO⋅PQ + NP⋅NO = OP⋅OM

tương đương với:

MO⋅PQ + NP⋅√(OP² - MO²) = OP⋅MO

tương đương với:

(MO⋅PQ)² + (NP⋅√(OP² - MO²))² = (OP⋅MO)²

tương đương với:

(MO² + NP²)⋅(OP² - MO²) = (OP⋅MO)²

tương đương với:

(MO² + NP²)⋅(OP² - MO²) = (OP² - OM²)⋅(OM² + NP²)

tương đương với:

(MO² + NP²)⋅OP² - (MO² + NP²)⋅MO² = OP²⋅OM² - OM²⋅OP² + NP²⋅OP² - NP²⋅OM²

tương đương với:

(MO² + NP²)⋅OP² = OM²⋅NP² + OP²⋅NP²

tương đương với:

(MO² + NP²) = NP²⋅cos²(∠MOP) + OM²⋅cos²(∠NOP)

tương đương với:

(MO² + NP²) = NP²⋅sin²(∠NOP) + OM²⋅sin²(∠MOP)

Do đó, ta có thể kết luận rằng M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.