Để dễ hình dung, ta vẽ hình như sau:


a. Ta có $\angle BEN = \angle BNM = 90^\circ - \angle BCD = 90^\circ - \angle BAD = \angle BEF$, suy ra tam giác BEN cân tại B.

b. Ta có $\angle BNM = \angle BEN = \angle BQP$ (do BN // PQ), suy ra tứ giác BQNP là hình bình hành. Mà BQNP là hình bình hành nên $BQ = NP$.

Từ $MF \parallel EN$, ta có $\angle BQP = \angle BNM = \angle MFN$ và $\angle BPQ = \angle BNM = \angle ENM$. Suy ra tam giác BQP đồng dạng với tam giác MFN và tam giác BPQ đồng dạng với tam giác ENM.

Do đó, $\dfrac{BQ}{MF} = \dfrac{NP}{MN} = \dfrac{EN}{MN}$ và $\dfrac{BP}{EN} = \dfrac{MN}{MF}$. Từ đó, ta có:

$$BQ \cdot EN = MF \cdot BP$$

Mà $BQ = NP$ và $EN = NH + HE$, suy ra:

$$NP \cdot (NH + HE) = MF \cdot BP$$

Mà $MF = MH + HF$, suy ra:

$$NP \cdot (NH + HE) = (MH + HF) \cdot BP$$

Mà $BP = BQ = NP$ (do BQNP là hình bình hành), suy ra:

$$NP \cdot (NH + HE) = (MH + HF) \cdot NP$$

$$NH + HE = MH + HF$$

Do đó, tứ giác BQHP là hình chữ nhật.

c. Ta có $PQ \parallel BD$ (do $MF \parallel EN$ và $BD$ là đường chéo của hình bình hành BQNP), suy ra PQ là đường trung trực của BD.