a) Ta có thể sử dụng định lí phân giác trong tam giác vuông ABD để suy ra:

AB/BD = AH/DH

Do đó, ta có:

AB.BD = AH.DH

Ta biết rằng tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:

AH = AB.cosC
DH = BD.cosC

Thay vào công thức trên, ta được:

AB.BD = AB.cosC.BD.cosC= AB^2.cos^2C

Do đó, ta có:

AB.BD = AB^2.(1 - sin^2C)

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:

sinC = BC/AB

Thay vào công thức trên, ta được:

AB.BD = AB^2.(1 - BC^2/AB^2) = AB^2 - BC^2.AD

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:

BC^2 + AD^2 = BD^2

Do đó, ta có:

AB.BD = AB^2 - BC^2.(BD^2 - BC^2)
            = BC^4 + AB^2.BC^2 - AB^2.BD^2

Vì BD là phân giác của góc B trong tam giác ABC, nên ta có:

BD/DC = AB/AC

Do đó, ta có:

BD = AB.AC/BC

Thay vào công thức trên, ta được:

AB.BD = AB^2.AC/BC = AB.AC.BI/BC

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:

AC = BC/cosC

Thay vào công thức trên, ta được:

AB.BD = AB^2.BI

Do đó, ta có ab.ab = BI.BD.

b) Ta biết rằng BD là phân giác của góc B trong tam giác ABC, nên ta có:

BD/DC = AB/AC

Do đó, ta có:

BD = AB.AC/BC

Ta biết rằng AI vuông góc với BD, nên ta có:

BI.BD = BH.BC

Ta biết rằng tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:

BH = BC.sinC

Thay vào công thức trên, ta được:

BI.BD = BC.sinC.AB.AC/BC = AB.AC.sinC

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:

sinC = BC/AB

Thay vào công thức trên, ta được:

BI.BD = AB.AC.BC/AB = AB.BC.AC/AB

Do đó, ta có BI.BD = Bhc.