Để các số hữu tỉ sau là những số nguyên, ta cần giải phương trình sau:

3n + 2 = k(4n - 57)

Trong đó k là một số nguyên.

Mở ngoặc và đơn giản hóa, ta được:

3n + 2 = 4kn - 57k

4kn - 3n = 2 + 57k

n(4k - 3) = 2 + 57k

n = (2 + 57k)/(4k - 3)

Để n là một số nguyên, ta cần 2 + 57k chia hết cho 4k - 3.

Áp dụng định lý Euclid, ta có:

2 + 57k = (4k - 3)q + r

Với q và r là các số nguyên dương và 0 ≤ r < 4k - 3.

Do đó, r = 2 + 3k.

Để r = 0, ta cần 2 + 3k chia hết cho 4k - 3.

Áp dụng định lý Euclid lần nữa, ta có:

2 + 3k = (4k - 3)q' + r'

Với q' và r' là các số nguyên dương và 0 ≤ r' < 4k - 3.

Do đó, r' = 11.

Vậy, để các số hữu tỉ sau là những số nguyên, ta cần tìm các giá trị nguyên của k sao cho 2 + 57k chia hết cho 4k - 3 và r' = 11.

Ta có thể thử các giá trị nguyên của k để tìm các giá trị hợp lệ của n. Ví dụ:

- Khi k = 1, ta có: 2 + 57k = 59 và 4k - 3 = 1, nên n = 59/1 = 59 là một giá trị hợp lệ của n.
- Khi k = 2, ta có: 2 + 57k = 116 và 4k - 3 = 5, nên n = 116/5 không phải là một số nguyên.

Vậy, giá trị hợp lệ của n là n = 59.