a. Ta có:

• Tam giác ABC vuông tại A nên theo định lí Pythagore, ta có: $AB^2=AH^2+BH^2$ và $AC^2=AH^2+CH^2$.


• Nhân hai vế của phương trình $AB^2=AH^2+BH^2$ với $AC^2=AH^2+CH^2$ ta được: $AB^2 \cdot AC^2 = (AH^2+BH^2) \cdot (AH^2+CH^2)$.


• Mở ngoặc và rút gọn ta được: $AB^2 \cdot AC^2 = AH^4 + BH^2 \cdot CH^2$.


• Do đó, $AH^2 = \frac{BH^2 \cdot CH^2}{BC^2}$ (vì tam giác ABC vuông tại A nên $BC=2BH$).


• Thay $AH^2$ vào phương trình $AB^2=AH^2+BH^2$ ta được: $AB^2 = \frac{BH^2 \cdot CH^2}{BC^2} + BH^2$.


• Rút gọn ta được: $AB^2 = BH^2 \cdot \frac{BC^2+CH^2}{BC^2}$.


• Vì $BC^2+CH^2=BC \cdot CH$ (do tam giác vuông tại A nên $BC=2BH$ và $CH=2CH$) nên ta có: $AB^2 = BH^2 \cdot \frac{BC \cdot CH}{BC^2}$.


• Rút gọn ta được: $AB^2 = BH \cdot CH$.


• Do đó, $AH \cdot BC = AH \cdot 2BH = 2 \cdot AH \cdot BH = 2 \cdot \frac{AB^2}{2BH} \cdot BH = AB^2$.


• Vậy, $AH \cdot BC = AB^2 = AB \cdot AC$.

b. Từ phần a, ta có: $AB^2=BH \cdot CH$.

c. Từ phần a, ta có: $AH^2 = \frac{BH^2 \cdot CH^2}{BC^2}$.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên $BC=2BH$ nên ta có: $AH^2 = \frac{BH^2 \cdot CH^2}{4BH^2} = \frac{CH^2}{4}$.

Do đó, $AH^2 = \frac{1}{4}CH^2$.