a, 
ΔABC, ta có: BA^2 = BH.BC
ΔABD, ta có: BD^2 = BH.BI
=> BA^2.BC = BH.BC.BH.BI = BH^2.BI.BC
=> BI.BD = BH^2/BA^2 x BC
Gọi M là trung điểm của BC, ta có:
Góc BMD = góc BAD (do BM là phân giác góc BAC)
Góc BAM = góc BDM (do AB song song với DM)
=> hai tam giác BMD và BAM đồng dạng.
=> BM^2 = BA.BD
Mà BM = BC/2, nên ta có:
BH^2/BA^2 = (2BM)^2/4BM^2 = 1/2
=> BI.BD = BC/2 = BA.BC
b, Ta có:
Góc BCD = góc BHD (do CD song song với AH)
Góc BIH = góc BHD (do IH vuông góc với BD)
=> góc BIH = góc BCD.
c, Áp dụng định lí Euclid vào tam giác AHB, ta có:
KH.KB = KI.KA
=>  KH.KB = KI.(KA + AB)
=>  KH.KB = KI.KA + KI.AB
Do tam giác AIB vuông tại I, ta có:
AB = AI.sin(BAI) = AI.sin(ABI)
=>  KH.KB = KI.KA + KI.AI.sin(ABI)
Ta biết rằng tam giác BHI đồng dạng với tam giác ABC, nên:
=>  BI/BC = BH/BA
=> BI.BA = BC.BH
=>  KI.AI.sin(ABI) = BI.BH/2 (vì AI là phân giác góc BAC)
=>  KH.KB = KI.KA + BI.BH/2
Ta có:
Góc BHD = góc BCD (do CD song song với AH)
Góc BAD = góc BAH (do AB vuông góc với BH)
=> hai tam giác BHD và BAH đồng dạng.
=> BH/BA = BD/BC
=>  BH/KA = BD/BC - 1
=>  BH/KA = (BD - BC)/BC
=>  BH/KA = CD/BC
Tương tự, ta có:
=>  KB/KI = CD/BC
=> KH.KB = KI.KA + BI.BH/2 = KI.KA + KA.KI = KI.KA^2
=> KI.KA = KH.KB.