Gọi F là trung điểm của AB. Ta có:
AD + BE = 2a
AF + FD + BE + EC = 2a (vì AF = FD và BE = EC)
AF + BE + FD + EC = 2a
AB + DE = 2a (vì AF + BE = AB và FD + EC = DE)
Gọi H là trung điểm của DE. Ta có:
AH + HB + HD + HE = AB + DE = 2a
AH + HB + 2HH' = 2a (với H' là hình chiếu của H lên AB)
AH + HB = 2a - 2HH'
Diện tích tứ giác ABED là S = 1/2 * AB * DE * sin(AEB) = 1/2 * a * (2a - AB) * sin(AHB) = a^2/2 * sin(AHB) - a^3/4
Vì sin(AHB) là hằng số nên để S lớn nhất ta cần tối đa hóa a^2/2 - a^3/4. Ta có:
a^2/2 - a^3/4 = a^2/4 * (2 - a) <= a^2/4
=> diện tích tứ giác ABED lớn nhất khi và chỉ khi H nằm ở trung điểm của AB.
Khi đó, ta có DE = AB = a và diện tích tứ giác ABED là S = a^2/4.