n^2 + 7n + 17 là số chính phương<=> n^2 + 7n + 17 = k^2,VỚI k là một số nguyên.

<=>

n^2 + 7n + 17 - k^2 = 0

ta có:

delta = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(17 - k^2) = 4k^2 - 39

Để delta là bình phương của một số nguyên, ta có các trường hợp sau:

1. delta = 0 => 4k^2 - 39 = 0 => k^2 = 39/4, không có số nguyên n để k^2 là một số chính phương.

2. delta = p^2, trong đó p là một số nguyên => 4k^2 - 39 = p^2 => (2k - p)(2k + p) = 39

Để (2k - p)(2k + p) = 39, ta có các cặp giá trị sau:

2k - p = 1, 2k + = => k = 10, n = 3

2k - p = 3, 2k + p = 13 => không có giá trị n nào là số nguyên dương

2k - p = -1, 2k + p = -39 => không có giá trị n nào là số nguyên dương

2k - p = -3, 2k + p = -13 => không có giá trị n nào là số nguyên dương

Suy ra, giá trị n thỏa mãn là n = 3 và phương trình tương ứng là 3^2 + 7*3 + 17 = 49, là một số chính phương.