Để tam giác MNP là tam giác đều, ta cần điều kiện là OM = ON = OP.

Gọi x là độ dài của các đoạn OM, ON, OP.

Ta có:
- OM // BC => tam giác OMB và tam giác ABC tương đồng.
=> MB/BC = OM/AB
=> MB = (OM/AB) * BC = (x/a) * a = x

- ON // CA => tam giác ONC và tam giác ABC tương đồng.
=> NC/CA = ON/AB
=> NC = (ON/AB) * CA = (x/a) * a = x

- OP // AB => tam giác OPA và tam giác ABC tương đồng.
=> PA/AB = OP/BC
=> PA = (OP/BC) * AB = (x/a) * a = x

Vậy, ta có MB = NC = PA = x.

Do tam giác ABC là tam giác đều, nên ta có AB = BC = CA = a.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OMB, ta có:
OB^2 = OM^2 + MB^2
=> OB^2 = x^2 + x^2 = 2x^2
=> OB = sqrt(2x^2) = sqrt(2) * x

Tương tự, ta có OC = sqrt(2) * x và OA = sqrt(2) * x.

Vậy, ta có OM = ON = OP = x và OA = OB = OC = sqrt(2) * x.

Để tam giác MNP là tam giác đều, ta cần điều kiện là OM = ON = OP.
=> x = x = x
=> x = 0 (vô nghiệm) hoặc x ≠ 0.

Vậy, điểm O không thể nằm trên tam giác ABC để tam giác MNP là tam giác đều.

Chu vi tam giác đều ABC là 3 * a.