Để giải phương trình này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Đặt \(y = \sqrt{x-1}\), ta có \(x = y^2 + 1\).

Bước 2: Thay \(x\) bằng \(y^2 + 1\) vào phương trình ban đầu, ta được:

\(\sqrt{y^2 + 4y + 2} + \sqrt{y^2 + 7} = 5\).

Bước 3: Bình phương cả hai vế của phương trình, ta có:

\((\sqrt{y^2 + 4y + 2} + \sqrt{y^2 + 7})^2 = 5^2\).

\(y^2 + 4y + 2 + 2\sqrt{(y^2 + 4y + 2)(y^2 + 7)} + y^2 + 7 = 25\).

\(2y^2 + 4y + 9 + 2\sqrt{(y^2 + 4y + 2)(y^2 + 7)} = 25\).

\(2\sqrt{(y^2 + 4y + 2)(y^2 + 7)} = 25 - 2y^2 - 4y - 9\).

\(2\sqrt{(y^2 + 4y + 2)(y^2 + 7)} = 16 - 2y^2 - 4y\).

Bước 4: Bình phương cả hai vế của phương trình, ta có:

\((2\sqrt{(y^2 + 4y + 2)(y^2 + 7)})^2 = (16 - 2y^2 - 4y)^2\).

\(4(y^2 + 4y + 2)(y^2 + 7) = (16 - 2y^2 - 4y)^2\).

\(4(y^4 + 11y^2 + 28y + 14) = (16 - 2y^2 - 4y)^2\).

\(4y^4 + 44y^2 + 112y + 56 = 256 - 64y^2 - 128y + 4y^4 + 16y^2 + 32y^3\).

\(0 = 192 - 124y^2 - 240y + 32y^3\).

\(32y^3 - 124y^2 - 240y + 192 = 0\).

Bước 5: Giải phương trình bậc 3 trên, ta tìm được giá trị của \(y\).

Bước 6: Thay giá trị của \(y\) vào \(x = y^2 + 1\), ta tìm được giá trị của \(x\).

Vậy, ta đã giải được phương trình.