Để chứng minh rằng đa thức -9x^2 + 24x - 18 luôn âm với mọi x, ta cần chứng minh rằng đa thức này không bao giờ đạt giá trị bằng 0 và luôn nhỏ hơn 0.

Để tìm giá trị của x khi đa thức bằng 0, ta giải phương trình -9x^2 + 24x - 18 = 0.

Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai, ta có:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Với a = -9, b = 24, và c = -18, ta tính được:
x = (-24 ± √(24^2 - 4(-9)(-18))) / (2(-9))
= (-24 ± √(576 - 648)) / (-18)
= (-24 ± √(-72)) / (-18)

Vì căn bậc hai của một số âm không tồn tại trong tập số thực, nên phương trình không có nghiệm thực. Điều này có nghĩa là đa thức -9x^2 + 24x - 18 không bao giờ đạt giá trị bằng 0.

Để chứng minh rằng đa thức này luôn nhỏ hơn 0, ta có thể sử dụng phương pháp đồ thị hoặc phương pháp khảo sát dấu.

Sử dụng phương pháp đồ thị, ta vẽ đồ thị của đa thức -9x^2 + 24x - 18. Đồ thị này là một đường parabol hướng xuống với đỉnh nằm trên trục tung. Vì hệ số của x^2 là âm, nên đồ thị nằm phía dưới trục x và không cắt trục x. Do đó, đa thức luôn nhỏ hơn 0.

Sử dụng phương pháp khảo sát dấu, ta xét dấu của từng hệ số trong đa thức -9x^2 + 24x - 18.

-9x^2 luôn âm với mọi x vì hệ số -9 là số âm và x^2 là số không âm.
24x có dấu âm khi x < 0 và dấu dương khi x > 0.
-18 luôn âm với mọi x vì -18 là số âm.

Kết hợp dấu của từng thành phần, ta có:
-9x^2 + 24x - 18 < 0 với mọi x.

Vậy, đa thức -9x^2 + 24x - 18 luôn âm với mọi x.