Để chứng minh dm = dc, ta sẽ sử dụng định lí phân giác trong tam giác ABC.

Theo định lí phân giác, ta có:
$\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên $AB^2 = AC^2 + BC^2$
$\Rightarrow \frac{AD}{DC} = \frac{AC^2 + BC^2}{BC^2} = 1 + \frac{AC^2}{BC^2}$
Vì $AB < AC$, nên $AC^2 > AB^2 > BC^2$
$\Rightarrow \frac{AC^2}{BC^2} > 1$
$\Rightarrow 1 + \frac{AC^2}{BC^2} > 2$
$\Rightarrow \frac{AD}{DC} > 2$
Do đó, ta có $AD > 2DC$

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên $\angle BAC = 90^\circ$
Vì tam giác ADE cũng vuông tại A, nên $\angle DAE = 90^\circ$
Vậy, tam giác ADE cân tại A.
Do đó, ta có $AD = DE$

Vậy, ta có $DE > 2DC$

Giả sử $DE = 2DC$, ta có $AD = 2DC$
Vậy, ta có $AD = DE = 2DC$
Do đó, ta có $AD = DE = DC$

Vậy, ta đã chứng minh được dm = dc.

Để chứng minh bd là đường trung trực của mc, ta sẽ sử dụng định lí phân giác trong tam giác ABC.

Theo định lí phân giác, ta có:
$\frac{AB}{BC} = \frac{AM}{MC}$
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên $AB^2 = AC^2 + BC^2$
$\Rightarrow \frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{AC^2 + BC^2}}{BC}$
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên $\angle BAC = 90^\circ$
Vì tam giác ADE cũng vuông tại A, nên $\angle DAE = 90^\circ$
Vậy, tam giác ADE cân tại A.
Do đó, ta có $AD = DE$
Vậy, ta có $AM = ME$

Vậy, ta có $\frac{AB}{BC} = \frac{AM}{MC} = \frac{ME}{MC}$
Do đó, ta có $\angle BDM = \angle MDC$

Vậy, ta đã chứng minh được bd là đường trung trực của mc.