a) Để chứng minh ABCD là hình thang vuông, ta cần chứng minh góc A = góc D = 90 độ.

Vì AB // CD, ta có góc A + góc D = 180 độ (góc đối của hai góc tương ứng).

Theo đề bài, góc A = 3 * góc D.

Thay vào phương trình trên, ta có:
3 * góc D + góc D = 180 độ
4 * góc D = 180 độ
góc D = 45 độ

Vậy góc A = 3 * 45 độ = 135 độ.

Do đó, góc A ≠ góc D, nên ABCD không phải là hình thang vuông.

b) Để tính gcos A, ta sử dụng định nghĩa của cosin:

gcos A = AB / AD = 3 / căn bậc hai 2 = 3 / 2

Để tính góc D, ta sử dụng định nghĩa của sin:

gsin D = CD / AD = 4 / căn bậc hai 2 = 4 / 2 = 2

Do góc D là góc nhọn, nên góc D = arcsin(2) ≈ 63.43 độ.

c) Đường cao AH là đoạn thẳng vuông góc với CD tại H. Để tính độ dài AH, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHC:

AH^2 + HC^2 = AC^2

Vì ABCD là hình thang, nên HC = BD = AB - CD = 3 - 4 = -1 (độ dài không thể âm).

Ta có AC = AD - CD = căn bậc hai 2 - 4 = -2 (độ dài không thể âm).

Thay vào phương trình trên, ta có:
AH^2 + (-1)^2 = (-2)^2
AH^2 + 1 = 4
AH^2 = 3
AH = căn bậc hai 3

Vậy đường cao AH có độ dài là căn bậc hai 3.