Để phân tích thành nhân tử biểu thức a(b^3-c^3) + b(c^3-a^3) + c(a^3-b^3), ta sử dụng công thức khai triển đa thức:

a(b^3-c^3) + b(c^3-a^3) + c(a^3-b^3) = ab^3 - ac^3 + bc^3 - ba^3 + ca^3 - cb^3

Nhìn vào biểu thức trên, ta thấy có thể nhóm các thành phần lại với nhau:

= (ab^3 - ba^3) + (bc^3 - cb^3) + (ca^3 - ac^3)

= b^3(a - b) + c^3(b - c) + a^3(c - a)

= -b^3(b - a) - c^3(c - b) - a^3(a - c)

= -(b - a)(b^3 + ab^2 + a^2b + a^3) - (c - b)(c^3 + bc^2 + b^2c + b^3) - (a - c)(a^3 + ca^2 + c^2a + c^3)

= -(b - a)(a^3 + ab^2 + a^2b + b^3) - (c - b)(b^3 + bc^2 + b^2c + c^3) - (a - c)(c^3 + ca^2 + c^2a + a^3)

= -(b - a)(a^3 + ab^2 + a^2b + b^3) + (b - c)(b^3 + bc^2 + b^2c + c^3) + (a - c)(c^3 + ca^2 + c^2a + a^3)

= (b - a)(b^3 + bc^2 + b^2c + c^3 - a^3 - ab^2 - a^2b) + (a - c)(c^3 + ca^2 + c^2a + a^3)

= (b - a)(b^2(b + c) - a^2(b + c) - a^3) + (a - c)(c^2(c + a) + a^2(c + a) + a^3)

= (b - a)(b^2 - a^2)(b + c) - (a - c)(c^2 + a^2)(c + a)

= (b - a)(b + a)(b^2 - a^2) - (a - c)(c + a)(c^2 + a^2)

= (b - a)(b + a)(b - a)(b + a) - (a - c)(c + a)(c - a)(c + a)

= (b - a)^2(b + a)^2 - (a - c)^2(c + a)^2

= (b - a)^2(b + a)^2 - (a - c)^2(c + a)^2

Vậy, biểu thức a(b^3-c^3) + b(c^3-a^3) + c(a^3-b^3) có thể phân tích thành nhân tử là (b - a)^2(b + a)^2 - (a - c)^2(c + a)^2.