Để chứng minh rằng BE x BC x CF = AH^3 trong tam giác ABC, chúng ta sẽ sử dụng các định lý về tỉ lệ đồng dạng trong tam giác vuông.

Gọi H là giao điểm của đường cao HK và cạnh AB, ta có:

AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH là đường cao từ góc vuông A và AH là cạnh huyền của tam giác vuông AHB. Do đó, tam giác AHB cũng vuông tại H.

Áp dụng định lý tỉ lệ đồng dạng, ta có:

1. Từ tam giác ABC:

   • BE/BH = BC/BA (định lý tỉ lệ đồng dạng)

2. Từ tam giác AHB:

   • BH/AH = BA/BC (định lý tỉ lệ đồng dạng)

3. Từ tam giác AHC:

   • CF/AH = AC/AB (định lý tỉ lệ đồng dạng)

Kết hợp cả 3 phương trình trên, ta có:

BE/BH × BH/AH × CF/AH = BC/BA × BA/BC × AC/AB

Các thành phần của phép nhân trên mỗi bên đều bị hủy nhau, ta có:

BE/AH × CF/AH = 1

Nhân cả hai vế của phương trình với AH^2, ta được:

BE × CF = AH^2

Nhân cả hai vế của phương trình với AH, ta có:

BE × CF × AH = AH^3

Từ đó, chúng ta có:

BE × BC × CF = AH^3

Vậy, ta đã chứng minh được rằng BE × BC × CF = AH^3 trong tam giác ABC khi tam giác ABC là tam giác vuông tại A và HK là đường cao kẻ từ góc vuông A.