a) Ta có:
- Góc MOA = Góc MBA (tiếp tuyến cùng cắt cung cùng)
- Góc MOB = Góc MAB (tiếp tuyến cùng cắt cung cùng)
- Góc MOE = Góc MCE (tiếp tuyến cùng cắt cung cùng)
Do đó, ta có 5 điểm M, A, E, O, B cùng nằm trên một đường tròn.

b) Ta có:
- Góc MOC = Góc MDC (cát tuyến cùng cắt cung cùng)
- Góc MDO = Góc MCA (cát tuyến cùng cắt cung cùng)
Do đó, ta có:
MC/MA = MD/MO (định lý đường tròn lồi)
Từ đó suy ra: MC.MD = MA.MO
Vì MA = MO - OA = MO - R, nên ta có:
MC.MD = MA.MO = (MO - R).MO = MO^2 - R.MO = MO^2 - R^2

c) Ta có:
- Góc MOC = Góc MDC (cát tuyến cùng cắt cung cùng)
- Góc MDO = Góc MCA (cát tuyến cùng cắt cung cùng)
Do đó, ta có:
Góc MOC = Góc MDO
Vậy, các tiếp tuyến tại C, D của đường tròn (O;R) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng AB.

d) Ta có:
- Góc MOA = Góc MBA (tiếp tuyến cùng cắt cung cùng)
- Góc MOB = Góc MAB (tiếp tuyến cùng cắt cung cùng)
Do đó, góc MOA + góc MOB = góc MBA + góc MAB = 180 độ.
Vậy, đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.

e) Ta có:
- Góc MOA = Góc MBA (tiếp tuyến cùng cắt cung cùng)
- Góc MOB = Góc MAB (tiếp tuyến cùng cắt cung cùng)
Do đó, góc MOA + góc MOB = góc MBA + góc MAB = 180 độ.
Vậy, đường thẳng AB vuông góc với MO.
Từ đó, ta có:
Góc MPQ = Góc MAQ (tiếp tuyến cùng cắt cung cùng)
Góc MPB = Góc MAB (tiếp tuyến cùng cắt cung cùng)
Do đó, góc MPQ + góc MPB = góc MAQ + góc MAB = 180 độ.
Vậy, các điểm P, Q, M, O cùng nằm trên một đường tròn.

Để tìm vị trí điểm M để AB nhỏ nhất, ta cần xét trường hợp khi M nằm trên đường thẳng AB.