a) Để chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m, ta cần chứng minh rằng phương trình (1) luôn có delta (Δ) không âm.

Phương trình (1) có dạng: x² - 2mx - 4m - 4 = 0

Theo công thức tính delta (Δ) của phương trình bậc 2: Δ = b² - 4ac

Áp dụng vào phương trình (1), ta có: a = 1, b = -2m, c = -4m - 4

Δ = (-2m)² - 4(1)(-4m - 4) = 4m² + 16m + 16

Để chứng minh Δ không âm, ta cần chứng minh rằng Δ ≥ 0.

Ta có: Δ = 4m² + 16m + 16 = 4(m² + 4m + 4) = 4(m + 2)²

Vì (m + 2)² ≥ 0 với mọi giá trị của m, nên Δ ≥ 0 với mọi giá trị của m.

Do đó, phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Để tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm X1, X2 thỏa mãn x² + x² - X1X2 = 13, ta cần tìm m sao cho Δ = 0.

Ta đã tính được Δ = 4(m + 2)².

Để Δ = 0, ta có: 4(m + 2)² = 0

Điều này xảy ra khi và chỉ khi m + 2 = 0.

Vậy, để phương trình (1) có 2 nghiệm X1, X2 thỏa mãn x² + x² - X1X2 = 13, ta cần m = -2.