Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác cân và tam giác vuông.

1) Ta có tam giác ABC cân tại A, do đó góc BAC = góc BCA. Từ đó, ta có góc KAH = góc HAC và góc MAH = góc HAB. Nhưng góc HAC = góc HAB (do tam giác ABC cân), nên góc KAH = góc MAH. Vậy ta có AKAH = AMAH.

2) Ta có góc KAM = góc HAM (do K, M lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC). Nhưng góc HAM = góc HAB (do tam giác ABC cân), nên góc KAM = góc HAB. Từ đó, ta có góc KAM = góc KAH (do AKAH = AMAH). Vậy ta có tam giác AKA và tam giác AKM cân tại A.

Ta cũng có góc KAM = góc KAH = góc BAC (do tam giác ABC cân). Vậy ta có KM // BC.

3) Gọi I là trung điểm của AH. Ta cần chứng minh KJ || AH.

Ta có E là trung điểm của JM, nên JI = IM.

Ta cũng có AI = IH (do I là trung điểm của AH).

Vậy ta có tam giác AIJ và tam giác HIJ cân tại I.

Do đó, góc JAI = góc JIA và góc JHI = góc JIH.

Từ đó, ta có góc JAH = góc JAI + góc IAH = góc JIA + góc IAH = góc JIH + góc IAH = góc JAH + góc IAH.

Do đó, góc JAH = góc IAH.

Vậy ta có KJ || AH.