Cho tứ giác ABCD có AC cắt BD tại O và AOB nhọn

Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng công thức diện tích tam giác:

Diện tích tam giác ABC = 1/2 * AB * BC * sin(ABC)

Áp dụng công thức này vào tam giác AOB, ta có:

Diện tích tam giác AOB = 1/2 * AO * OB * sin(AOB)

Vì AC cắt BD tại O, nên ta có:

AO = CO và BO = DO

Vậy ta có thể viết lại diện tích tam giác AOB như sau:

Diện tích tam giác AOB = 1/2 * CO * DO * sin(AOB)

Vì ABCD là tứ giác, nên diện tích tứ giác ABCD chính là tổng diện tích hai tam giác AOB và COD:

Diện tích tứ giác ABCD = Diện tích tam giác AOB + Diện tích tam giác COD

= 1/2 * CO * DO * sin(AOB) + 1/2 * CO * DO * sin(COD)

= 1/2 * CO * DO * (sin(AOB) + sin(COD))

Vì AOB nhọn, nên COD cũng nhọn (vì chúng là hai góc đối diện của tứ giác ABCD). Vì vậy, ta có:

sin(AOB) + sin(COD) = 2 * sin((AOB + COD)/2) * cos((AOB - COD)/2)

= 2 * sin(180°/2) * cos((AOB - COD)/2)

= 2 * sin(90°) * cos((AOB - COD)/2)

= 2 * 1 * cos((AOB - COD)/2)

= 2 * cos((AOB - COD)/2)

Vậy ta có thể viết lại diện tích tứ giác ABCD như sau:

Diện tích tứ giác ABCD = 1/2 * CO * DO * (sin(AOB) + sin(COD))

= 1/2 * CO * DO * (2 * cos((AOB - COD)/2))

= CO * DO * cos((AOB - COD)/2)

Vì AOB nhọn, nên AOB - COD < 180°. Vì vậy, cos((AOB - COD)/2) > 0.

Vậy ta có:

Diện tích tứ giác ABCD = CO * DO * cos((AOB - COD)/2)

= CO * DO * |cos((AOB - COD)/2)|

Vì cos((AOB - COD)/2) > 0, nên |cos((AOB - COD)/2)| = cos((AOB - COD)/2).

Vậy ta có:

Diện tích tứ giác ABCD = CO * DO * cos((AOB - COD)/2)

= CO * DO * cos(AOC)

= CO * DO * cos(AOD)

= CO * DO * cos(AOB)

= CO * DO * cos(180° - AOB)

= CO * DO * (-cos(AOB))

= - CO * DO * cos(AOB)

= - CO * DO * sin(AOB)

= 1/2 * AC * BD * sin(AOB)

Vậy ta đã chứng minh được rằng diện tích tứ giác ABCD bằng 1/2 * AC * BD * sin(AOB).