Để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức trên, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương hoặc sử dụng đạo hàm. Dưới đây là cách giải bằng cách sử dụng đạo hàm:

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D = x^2 + y^2 + x - 6y + 5:
- Đạo hàm riêng theo x: D'x = 2x + 1
- Đạo hàm riêng theo y: D'y = 2y - 6
- Điều kiện cần để tìm điểm cực tiểu là D'x = 0 và D'y = 0:
2x + 1 = 0 => x = -1/2
2y - 6 = 0 => y = 3
- Để xác định xem điểm (-1/2, 3) là điểm cực tiểu hay cực đại, ta có thể sử dụng đạo hàm bậc hai:
Đạo hàm bậc hai theo x: D''xx = 2
Đạo hàm bậc hai theo y: D''yy = 2
Đạo hàm bậc hai theo x và y: D''xy = 0
Điều kiện cần để điểm (-1/2, 3) là điểm cực tiểu là D''xx > 0 và D''xx * D''yy - (D''xy)^2 > 0:
D''xx = 2 > 0
D''xx * D''yy - (D''xy)^2 = 2 * 2 - 0^2 = 4 > 0
- Vậy, điểm (-1/2, 3) là điểm cực tiểu của biểu thức D.
- Giá trị nhỏ nhất của biểu thức D là D(-1/2, 3) = (-1/2)^2 + 3^2 - 1/2 - 6*3 + 5 = 9/4 - 1/2 - 18 + 5 = -25/4.

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = x^2 + 10y^2 - 6xy - 10y + 26:
- Đạo hàm riêng theo x: E'x = 2x - 6y
- Đạo hàm riêng theo y: E'y = 20y - 6x - 10
- Điều kiện cần để tìm điểm cực tiểu là E'x = 0 và E'y = 0:
2x - 6y = 0 => x = 3y
20y - 6x - 10 = 0 => 20y - 6(3y) - 10 = 0 => 2y - 10 = 0 => y = 5
- Để xác định xem điểm (3y, 5) là điểm cực tiểu hay cực đại, ta có thể sử dụng đạo hàm bậc hai:
Đạo hàm bậc hai theo x: E''xx = 2
Đạo hàm bậc hai theo y: E''yy = 20
Đạo hàm bậc hai theo x và y: E''xy = -6
Điều kiện cần để điểm (3y, 5) là điểm cực tiểu là E''xx > 0 và E''xx * E''yy - (E''xy)^2 > 0:
E''xx = 2 > 0
E''xx * E''yy - (E''xy)^2 = 2 * 20 - (-6)^2 = 40 - 36 = 4 > 0
- Vậy, điểm (3y, 5) là điểm cực tiểu của biểu thức E.
- Giá trị nhỏ nhất của biểu thức E là E(3y, 5) = (3y)^2 + 10*5^2 - 6(3y)(5) - 10(5) + 26 = 9y^2 + 250 - 90y - 50 + 26 = 9y^2 - 90y + 226.
- Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E, ta có thể sử dụng đạo hàm riêng của E theo y:
E'y = 9y^2 - 90y + 226
Đạo hàm riêng theo y của E'y: (E'y)'y = 18y - 90
Điều kiện cần để tìm điểm cực tiểu là (E'y)'y = 0:
18y - 90 = 0 => y = 5
- Vậy, điểm (3y, 5) là điểm cực tiểu của biểu thức E.
- Giá trị nhỏ nhất của biểu thức E là E(3*5, 5) = 9*5^2 - 90*5 + 226 = 225 - 450 + 226 = 1.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức D là -25/4 và giá trị nhỏ nhất của biểu thức E là 1.