a) Ta có AB = 5cm và BC = 13cm. Áp dụng định lý Pythagoras, ta có:
AC² = AB² + BC²
AC² = 5² + 13²
AC² = 25 + 169
AC² = 194
AC = √194

Vậy tam giác ABC có AC ≈ 13.93cm.

b) Kẻ AH vuông góc BC. Ta có:
AH = BC = 13cm

Qua H kẻ HM vuông góc AB. Ta có:
HM = AB = 5cm

Qua H kẻ HN vuông góc AC. Ta có:
HN = AC - AH = √194 - 13 ≈ 0.93cm

Vậy MN = HM + HN = 5 + 0.93 ≈ 5.93cm.

c) Chu vi tứ giác AMHN là:
Chu vi = AM + MN + NH + HA
Chu vi = AB + MN + HN + AH
Chu vi = 5 + 5.93 + 0.93 + 13
Chu vi ≈ 24.86cm.

Diện tích tứ giác AMHN là:
Diện tích = 1/2 * AB * HN + 1/2 * AC * HM
Diện tích = 1/2 * 5 * 0.93 + 1/2 * √194 * 5
Diện tích ≈ 2.325 + 17.33
Diện tích ≈ 19.655cm².