Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông cân và tam giác vuông.

a) Ta có AMB là tam giác vuông cân tại A, nên AM = AB. Tương tự, ta có ANC là tam giác vuông cân tại A, nên AN = AC. Do đó, ta có:

BN = BA + AN = AM + AC = MC

Vậy BN = MC.

b) Ta có BN = MC (vừa chứng minh ở câu a). Nếu ta chứng minh được BN // MC, thì ta có thể kết luận BNMC là hình bình hành, từ đó suy ra BN vuông góc với MC.

Để chứng minh BN // MC, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông cân. Ta có:

∠BAN = ∠CAN (do ANC là tam giác vuông cân tại A)
∠BAM = ∠CAM (do AMB là tam giác vuông cân tại A)

Từ đó, ta có:

∠BAN + ∠BAM = ∠CAN + ∠CAM
∠BAN + ∠BAM = ∠CAN + ∠BAN (do ∠BAN = ∠CAM)
2∠BAN = 2∠CAN
∠BAN = ∠CAN

Vậy ta có BN // MC.

c) Gọi O là trung điểm của MN. Ta cần chứng minh OA vuông góc với BC.

Vì O là trung điểm của MN, nên OA = OB = OC (do O là trung điểm của đoạn thẳng MN).

Ta có ∠MAB = ∠MAC (do AMB là tam giác vuông cân tại A), nên ta có ∠BAC = 90° - ∠MAB = 90° - ∠MAC.

Tương tự, ta có ∠BCA = 90° - ∠MAC.

Vậy ta có ∠BAC + ∠BCA = 90° - ∠MAC + 90° - ∠MAC = 180° - 2∠MAC.

Nhưng ta cũng có ∠BAC + ∠BCA = ∠BOC (do OA = OB = OC).

Vậy ta có ∠BOC = 180° - 2∠MAC.

Nhưng ta đã chứng minh ∠BAN = ∠CAN, nên ta có ∠MAC = ∠CAN.

Vậy ta có ∠BOC = 180° - 2∠CAN.

Nhưng ta cũng có ∠BOC = 180° - 2∠CAN (do BN // MC).

Vậy ta có ∠BOC = ∠BOC.

Vậy ta có OA vuông góc với BC.