a) Ta có:
- Đường thẳng qua D song song với AB cắt BC tại E.
- Đường thẳng qua C song song với AB cắt BC tại F.
Khi đó, ta có tứ giác ABDE và ACDF là tứ giác song song cắt bởi các đường chéo BD và AC. Do đó, ta có A4BC = ACDA.
b) Ta có:
- Từ a), ta đã chứng minh được A4BC = ACDA.
- Đường thẳng qua D song song với AB cắt BC tại E.
- Đường thẳng qua C song song với AB cắt BC tại F.
Khi đó, ta có tứ giác ABDE và ACDF là tứ giác song song cắt bởi các đường chéo BD và AC. Do đó, ta có M là trung điểm của AC.
c) Ta có:
- Đường thẳng d qua M cắt đoạn thẳng AD tại I.
- Đường thẳng d qua M cắt đoạn thẳng BC tại K.
Khi đó, ta có I, M, K thẳng hàng nếu và chỉ nếu tứ giác ADIK là tứ giác điều hòa.
Để chứng minh điều này, ta sử dụng tính chất của tứ giác điều hòa:
- Gọi H là giao điểm của AC và BD.
- Ta có (AC, HD) = -1 (do tứ giác ABDE là tứ giác điều hòa).
- Khi đó, ta có (AC, HM) = -1 (do M là trung điểm của AC).
- Vậy, ta có tứ giác ADIK là tứ giác điều hòa.
Do đó, ta có I, M, K thẳng hàng.