Để chứng minh rằng (n+3)(n+6) chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n, ta cần chứng minh rằng một trong hai số n+3 hoặc n+6 chia hết cho 2.

Ta biết rằng một số chẵn chia hết cho 2. Vì vậy, ta chỉ cần chứng minh rằng một trong hai số n+3 hoặc n+6 là số chẵn.

Giả sử n là một số tự nhiên bất kỳ. Ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: n là số chẵn.
Nếu n là số chẵn, ta có thể viết n dưới dạng n = 2k, với k là một số tự nhiên. Thay n vào biểu thức (n+3)(n+6), ta được:
(n+3)(n+6) = (2k+3)(2k+6)
= 2(2k+3)(k+3)

Vì 2k+3 và k+3 là hai số tự nhiên, nên (2k+3)(k+3) cũng là một số tự nhiên. Nhân thêm 2 vào số tự nhiên này, ta có một số chẵn. Vậy, (n+3)(n+6) chia hết cho 2 khi n là số chẵn.

Trường hợp 2: n là số lẻ.
Nếu n là số lẻ, ta có thể viết n dưới dạng n = 2k+1, với k là một số tự nhiên. Thay n vào biểu thức (n+3)(n+6), ta được:
(n+3)(n+6) = (2k+1+3)(2k+1+6)
= (2k+4)(2k+7)

Vì 2k+4 và 2k+7 là hai số tự nhiên, nên (2k+4)(2k+7) cũng là một số tự nhiên. Nhân hai số tự nhiên này với nhau, ta có một số chẵn. Vậy, (n+3)(n+6) chia hết cho 2 khi n là số lẻ.

Từ cả hai trường hợp trên, ta có thể kết luận rằng (n+3)(n+6) chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n.