Để giải phương trình này, ta cần tìm các cặp số nguyên (x, y) sao cho x^2 - 2xy + 3y - 5x + 7 = 0.

Để thuận tiện, ta có thể xem x và y là các biến độc lập. Ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông.

Đặt x^2 - 2xy + 3y - 5x + 7 = (x - y)^2 + (3 - 5x) + 7 = 0.

Để có thể hoàn thành khối vuông, ta cần thêm một số hạng vào cả hai vế của phương trình. Ta có thể thêm số 4 vào cả hai vế:

(x - y)^2 + (3 - 5x) + 7 + 4 = 4.

Simplifying, ta có:

(x - y)^2 + (3 - 5x) + 11 = 0.

Bây giờ, ta có thể nhìn thấy rằng phương trình đã trở thành một phương trình bậc hai với biến (x - y). Đặt t = x - y, ta có:

t^2 + (3 - 5x) + 11 = 0.

Giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức giải phương trình bậc hai, ta có:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),

trong đó a = 1, b = 3 - 5x, và c = 11.

Tính giá trị của t bằng cách thay các giá trị của a, b, và c vào công thức:

t = (-(3 - 5x) ± √((3 - 5x)^2 - 4(1)(11))) / (2(1)).

Simplifying, ta có:

t = (-3 + 5x ± √(9 - 30x + 25x^2 - 44)) / 2.

t = (-3 + 5x ± √(25x^2 - 30x - 35)) / 2.

Để t là một số nguyên, ta cần có 25x^2 - 30x - 35 là một bình phương của một số nguyên. Tuy nhiên, sau khi kiểm tra các giá trị của x từ -10 đến 10, ta không tìm thấy giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện này.

Vì vậy, phương trình ban đầu không có nghiệm nguyên.