Chứng minh 1/(1+√2)^4  +  1/(1-√2)^4  =  34

Để chứng minh phương trình trên, ta sẽ sử dụng công thức khai triển Newton cho mũ 4 của một tổng hai số.

Công thức khai triển Newton cho mũ 4 của một tổng hai số a và b là:
(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4

Áp dụng công thức này vào phương trình cần chứng minh, ta có:
(1 + √2)^4 = 1^4 + 4(1^3)(√2) + 6(1^2)(√2)^2 + 4(1)(√2)^3 + (√2)^4
= 1 + 4√2 + 6(2) + 4(2√2) + 2^2
= 1 + 4√2 + 12 + 8√2 + 4
= 21 + 12√2

Tương tự, ta có:
(1 - √2)^4 = 1^4 - 4(1^3)(√2) + 6(1^2)(√2)^2 - 4(1)(√2)^3 + (√2)^4
= 1 - 4√2 + 6(2) - 4(2√2) + 2^2
= 1 - 4√2 + 12 - 8√2 + 4
= 21 - 12√2

Thay giá trị của (1 + √2)^4 và (1 - √2)^4 vào phương trình cần chứng minh, ta có:
1/(1 + √2)^4 + 1/(1 - √2)^4 = 1/(21 + 12√2) + 1/(21 - 12√2)
= [(21 - 12√2) + (21 + 12√2)] / [(21 + 12√2)(21 - 12√2)]
= 42 / (21^2 - (12√2)^2)
= 42 / (441 - 288)
= 42 / 153
= 14 / 51

Vậy, ta thấy rằng 1/(1 + √2)^4 + 1/(1 - √2)^4 = 14 / 51, không phải 34.