Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường phân giác BI (I thuộc AC).Trên cạnh BC lầy điểm D sao cho AB = BD. Gọi giao điểm của AB và BD là K

Để chứng minh BI vuông góc với CK, ta cần chứng minh hai tam giác BIK và CKI đồng dạng.

Ta có:
- Tam giác ABC vuông tại A, nên ta có: AB² = AC² - BC².
- Tam giác ABD vuông tại A, nên ta có: AB² = AD² - BD².
Do đó, ta có: AC² - BC² = AD² - BD².
Vì AB = BD, nên ta có: AC² - BC² = AD² - AB².
Suy ra: AC² - BC² = AD² - AC².
Từ đó, ta có: 2AC² = AD² + BC².

Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Ta có: AM = MC.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có: AM = MC = AC/2.

Gọi N là trung điểm của cạnh AD. Ta có: AN = ND.
Vì tam giác ABD vuông tại A, nên ta có: AN = ND = AD/2.

Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác ABC, ta có:
AC² = AB² + BC².
=> AC² = AB² + 4AM² (vì AM = MC).
=> AC² = AB² + 4(AC/2)² (vì AM = AC/2).
=> AC² = AB² + AC².
=> AB² = AC²/2.

Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác ABD, ta có:
AD² = AB² + BD².
=> AD² = AB² + 4AN² (vì AN = ND).
=> AD² = AB² + 4(AD/2)² (vì AN = AD/2).
=> AD² = AB² + AD².
=> AB² = AD²/4.

Từ hai biểu thức trên, ta có:
AC²/2 = AD²/4.
=> AC² = 2AD².
=> AC = √(2) * AD.

Vì N là trung điểm của AD, nên ta có: AN = ND = AD/2.
Do đó, ta có: CN = AC - AN = √(2) * AD - AD/2 = (2√(2) - 1) * AD/2.

Áp dụng định lý Phân giác trong tam giác ABC, ta có:
CI/IA = BC/BA.
=> CI/IA = BC/AB (vì AB = BD).
=> CI/IA = BC/√(2) * AD (vì AB = √(2) * AD).
=> CI/IA = BC/(2√(2) - 1) * CN (vì CN = (2√(2) - 1) * AD/2).
=> CI/IA = BC/CN.

Vậy, tam giác BIK và CKI đồng dạng (theo định lý đồng dạng góc). Do đó, BI vuông góc với CK.