a) Xét ΔOAC và ΔOBC, có

OA = OB (gt)

∠AOC = ∠BOC ( Oz là tia phân giác của ∠xOy)

OC chung 

⇒ΔOAC = ΔOBC (c-g-c)

⇒AC=BC (*) ( tương ứng )⇒ C là trung điểm của AB (đpcm)

Ta có ΔOAC=ΔOBC (cmt) ⇒∠ACO = ∠BCO (tương ứng)

Mà ∠ACO + ∠BCO = 180 độ 

⇒ ∠ACO = ∠BCO = 180 độ : 2 = 90 độ

⇒ OC⊥AB (đpcm)

b)

+ Chứng minh: AM//OB

Xét ΔACM và ΔBCO, có:

AC = CB (*)

∠ACM = ∠BCO (đối đỉnh)

OC = CM (gt)

⇒ΔACM = ΔBCO ( c-g-c)

⇒∠CAM =∠CBO ( tương ứng)

Mà ∠CAM và ∠CBO ở vị trí so le trong 

⇒ AM//OB (đpcm)

+ Chứng minh: BM//OA 

Xét ΔOAC và ΔMBC, có

AC = CB (*) 

∠ACO = ∠BCM (đối đỉnh)

OC = CM (gt)

⇒ ΔOAC = ΔMBC (c-g-c)

⇒ ∠OAC = ∠MBC 

MÀ ∠OAC và ∠MBC ở vị trí so le trong 

⇒ BM//OA (đpcm)

c) 

Xét ΔOKM và ΔOIM, có 

∠OKM = ∠OIM ( =90 độ)

OM chung 

∠KOM = ∠IOM ( Oz là tia phân giác của ∠xOy)

⇒ΔOKM = ΔOIM ( cạnh huyền-góc nhọn)

⇒ OK=OI ( tương ứng) 

Ta có : OA = OB (gt)

           OK = OI (cmt)

⇒ OK-OA = OI-OB 

⇒AK=BI