a. Ta có AB = AE (vì A là trung điểm của BE) và AC là đường cao của tam giác ABC (vì tam giác ABC vuông tại A), nên tam giác ABC = tam giác AEC theo trường hợp đồng dạng cạnh - góc - cạnh.

b. Gọi H là trung điểm của BC. Ta có BH là đường trung tuyến của tam giác BEC, nên BH = HC và BH // EC. Vì A là trung điểm của BE, nên AH = HE. Do đó, tam giác AHE là tam giác đều. Khi đó, ta có AH = HE = AE/2.

Gọi M là giao điểm của AC và BH. Ta cần chứng minh M là trọng tâm của tam giác BEC.

Áp dụng định lí trọng tâm, ta có BM = 2MH. Vì BH = HC, nên BM = MC. Do đó, M là trọng tâm của tam giác BEC.

Để tính độ dài cạnh CM, ta có CM = 2BM = 2MC = 2(BC/2) = BC = 15cm.

c. Vẽ đường song song với cạnh EC và cắt BC tại K. Ta cần chứng minh ba điểm E, M, K thẳng hàng.

Vì EC // AK, nên ta có các góc tương ứng như sau:
∠EAC = ∠KAC (góc tương ứng)
∠AEC = ∠AKC (góc đồng quy)
∠ECA = ∠KCA (góc tương ứng)

Do đó, tam giác AEC = tam giác AKC theo trường hợp đồng dạng cạnh - góc - cạnh. Vì tam giác AEC = tam giác ABC (theo phần a), nên ta có tam giác ABC = tam giác AKC.

Vậy ba điểm E, M, K thẳng hàng.