Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H

a) Ta có góc APC = 90 độ, nên tam giác APC vuông tại P. Tương tự, tam giác AQB vuông tại Q.
Do đó, ta có:
AP^2 = AC^2 - CP^2
AQ^2 = AB^2 - BQ^2
Vậy, ta có:
BE.AB + CD.AC = (BE + CD).AB + CD.AC = BC.AC + CD.AC = AC.BC + AC.CD = AC.(BC + CD) = AC^2 = AP^2 + CP^2 + AQ^2 + BQ^2 = AP^2 + AQ^2 = AP^2 + AB^2 - BQ^2 = AP^2 + AB^2 - (AQ^2 + AB^2 - AC^2) = AP^2 + AC^2 - AQ^2 = AP^2 + AC^2 - (AP^2 + CP^2) = AC^2 + CP^2 - CP^2 = AC^2
Vậy, BE.AB + CD.AC = BC^2.

b) Ta có góc APC = 90 độ, nên tam giác APC vuông tại P. Tương tự, tam giác AQB vuông tại Q.
Do đó, ta có:
AP^2 = AC^2 - CP^2
AQ^2 = AB^2 - BQ^2
Vậy, ta có:
DH.DB = (DP^2 + CP^2).(DP^2 + BQ^2) = DP^4 + DP^2.BQ^2 + CP^2.DP^2 + CP^2.BQ^2 = DP^4 + CP^2.(DP^2 + BQ^2) = DP^4 + CP^2.AQ^2 = DP^2.(DP^2 + CP^2) = DP^2.DH
Tương tự, ta có:
EH.EC = EQ^2.EH
Vậy, DH.DB = DP^2 và EH.EC = EQ^2.

c) Ta có góc APC = 90 độ, nên tam giác APC vuông tại P. Tương tự, tam giác AQB vuông tại Q.
Do đó, ta có:
AP^2 = AC^2 - CP^2
AQ^2 = AB^2 - BQ^2
Vậy, ta có:
AP^2 = AC^2 - CP^2 = AB^2 - BQ^2 = AQ^2
Vậy, AP = AQ.