a) Ta có:
- Góc ACB và góc MCB là góc vuông (do đường thẳng MC vuông góc với đường chéo AC).
- Góc CMB và góc CNA là góc vuông (do đường thẳng CN vuông góc với đường thẳng AB).
- Góc MCB và góc CMB là góc cùng phía của đường thẳng MC (do đường thẳng MC cắt đường thẳng AB tại M và C).
- Góc CNA và góc CMB là góc cùng phía của đường thẳng CN (do đường thẳng CN cắt đường thẳng AD tại N và C).

Từ các góc vuông và các góc cùng phía, ta có:
Góc ACB = Góc MCB (cùng vuông)
Góc CMB = Góc CNA (cùng vuông)
Góc MCB = Góc CMB (cùng phía)
Góc CNA = Góc CMB (cùng phía)

Do đó, theo định lí góc đồng quy, ta có:
AB.AN = AD.AM

b) Ta có:
AB.AN = AD.AM
4.AN = 3.AM

Với AD = 3 cm, AB = 4 cm, ta có:
4.AN = 3.AM
AN = 3/4.AM

Thay vào phương trình AB.AN = AD.AM, ta có:
4.(3/4.AM) = 3.AM
3.AM = 3.AM

Vậy, DM = AM = AN = 3/4.AM = 3/4.3 = 9/4 = 2.25 cm

c) Ta có:
Góc ACB và góc CDB là góc vuông (do đường thẳng CD vuông góc với đường chéo AC).
Góc CDB và góc CBA là góc cùng phía của đường thẳng CB (do đường thẳng CB cắt đường thẳng AD tại D và B).

Từ các góc vuông và các góc cùng phía, ta có:
Góc ACB = Góc CDB (cùng vuông)
Góc CDB = Góc CBA (cùng phía)

Do đó, theo định lí góc đồng quy, ta có:
CD.CB = CB.CA

d) Ta có:
E là trung điểm của MC (do e là trung điểm của đoạn thẳng MC).
CH vuông góc với DB tại H (do CH là đường thẳng vuông góc với đường thẳng DB tại D).
EB cắt CH tại K.

Vậy, K là trung điểm của CH (do E là trung điểm của MC và EB cắt CH tại K).