Để chứng minh DM = AH và DE || MN, ta sẽ sử dụng các định lí sau:

1. Tam giác vuông cân có đường cao chính là đường trung bình của nó.
2. Hai đường cao của một tam giác vuông cân cắt nhau tại trung điểm của cạnh đối góc vuông.
3. Hai đường cao của một tam giác vuông cân cắt nhau vuông góc.

Bây giờ, ta sẽ chứng minh từng phần:

1. Chứng minh DM = AH:
- Gọi M là trung điểm của BC.
- Ta có tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, nên đường cao AH cũng là đường trung bình của tam giác ABC.
- Vì M là trung điểm của BC, nên DM cũng là đường trung bình của tam giác ABC.
- Do đó, ta có DM = AH.

2. Chứng minh DE || MN:
- Gọi N là trung điểm của MN.
- Ta có tam giác Ace là tam giác vuông cân tại A, nên đường cao AE cũng là đường trung bình của tam giác Ace.
- Vì N là trung điểm của MN, nên DN cũng là đường trung bình của tam giác Ace.
- Do đó, ta có DN = AE.
- Vì DN = AE và DE || MN (do DE và MN đều vuông góc với đường thẳng AH), nên ta có DE || MN.

Vậy, ta đã chứng minh được DM = AH và DE || MN.