Để chứng minh AH // MN, ta cần chứng minh tứ giác ABDC là hình bình hành.

Ta có:
- Tứ giác ABDC là hình bình hành vì hai cạnh đối nhau AB và CD bằng nhau và song song.
- Trực tâm H là trung điểm của đường chéo BD, do đó AH cắt BD tại điểm trung điểm E của BD.
- Gọi I là giao điểm của AH và MN. Ta cần chứng minh I là trung điểm của MN.
- Ta có: MN // BC (do M và N là trung điểm của BC), AH // BD (do H là trực tâm), BD // MN (do ABDC là hình bình hành).
- Do đó, ta có tứ giác AHIM là hình bình hành.
- Vì I là trung điểm của đường chéo AH nên I cũng là trung điểm của MN.

Vậy, ta đã chứng minh được AH // MN và AH = MN.