a) Ta có OM = 8/5R và OA = R (vì A là tiếp điểm của tiếp tuyến MA với đường tròn (O)), suy ra AM = OA - OM = R - 8/5R = 3/5R.
Tương tự, ta có BM = R - 8/5R = 3/5R.
Vậy K là trung điểm của AB.

b) Ta có MA = 3/5R và MB = 3/5R (như đã tính ở câu a).
Vì K là trung điểm của AB, nên AK = KB = 1/2AB.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OAK, ta có:
OK^2 = OA^2 - AK^2 = R^2 - (1/2AB)^2 = R^2 - 1/4AB^2.
Vì AB = 2AK, nên AB^2 = 4AK^2.
Thay vào công thức trên, ta có:
OK^2 = R^2 - 1/4(4AK^2) = R^2 - AK^2 = R^2 - (1/2AB)^2 = R^2 - 1/4AB^2.
Suy ra OK = AB/2.

c) Ta có MB = 3/5R (như đã tính ở câu a).
Vì AN là đường kính của đường tròn (O), nên AN = 2R.
Vì BH vuông góc với AN tại H, nên AH = AN/2 = R.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác BAH, ta có:
BH^2 = BA^2 - AH^2 = AB^2 - R^2.
Vì MB = 3/5R, nên MB^2 = (3/5R)^2 = 9/25R^2.
Thay vào công thức trên, ta có:
AB^2 - R^2 = 9/25R^2.
Suy ra AB^2 = 34/25R^2.
Vậy MB.BN = (3/5R)(AB - AN) = (3/5R)(AB - 2R) = (3/5R)(sqrt(34/25R^2) - 2R) = (3/5R)(sqrt(34) - 2R).
Vì MB.BN = BH.MO, nên (3/5R)(sqrt(34) - 2R) = BH.MO.
Suy ra MB.BN = BH.MO.

d) Ta có MO là đường thẳng đi qua trung điểm K của AB, nên K là trung điểm của CD.
Vì E là điểm đối xứng của C qua K, nên KE = KC.
Vậy K là trung điểm của CE.
Do đó, ta có KE // AB.
Vì K là trung điểm của AB, nên KE cắt AB tại trung điểm của AB, suy ra E là trực tâm của tam giác ABD.