Ta có các điều kiện sau:
- Số tự nhiên chia hết cho 2, nghĩa là số đó là số chẵn.
- Số tự nhiên chia cho 3 dư 1, nghĩa là số đó có dạng 3k + 1.
- Số tự nhiên chia cho 337 dư 335, nghĩa là số đó có dạng 337m + 335.

Ta cần tìm số tự nhiên chia 2022 dư bao nhiêu. Điều này có thể được giải quyết bằng phương pháp đồng dư.

Gọi số tự nhiên cần tìm là x. Theo các điều kiện đã cho, ta có hệ phương trình sau:
x ≡ 0 (mod 2)
x ≡ 1 (mod 3)
x ≡ 335 (mod 337)

Áp dụng định lý Trung Hoa, ta có:
x ≡ 0 (mod 2)
x ≡ 1 (mod 3)
x ≡ 335 (mod 337)

Ta có thể giải hệ phương trình này bằng cách sử dụng thuật toán Euclid mở rộng hoặc sử dụng định lý Trung Hoa.

Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể tìm nghiệm của hệ phương trình bằng cách tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện đã cho.

Số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 2, chia cho 3 dư 1 và chia cho 337 dư 335 là 335.

Vậy số tự nhiên đó chia 2022 dư 335.