a) Ta có:
$\angle BAF = \angle BAH + \angle HAF = \angle BAH + \angle HAE = \angle BAE$
Vậy $\triangle ABE$ cân tại $A$.
Do đó, $AE = AB$.
Từ đó, ta có $AB \cdot HF = AE \cdot HB$.

b) Ta có:
$\angle BAF = \angle BAH + \angle HAF = \angle BAH + \angle HAE = \angle BAE$
Vậy $\triangle ABE$ cân tại $A$.
Do đó, $AE = AB$.
Từ đó, ta có $AE = AF$.

c) Ta có:
$\angle BAF = \angle BAH + \angle HAF = \angle BAH + \angle HAE = \angle BAE$
Vậy $\triangle ABE$ cân tại $A$.
Do đó, $AE = AB$.
Từ đó, ta có $AE^2 = AB^2 = EC \cdot FH$.

d) Ta có:
$\triangle ABC$ vuông tại $A$ nên $AH$ là đường cao của $\triangle ABC$.
Do đó, $\triangle BHF$ vuông tại $H$.
Áp dụng định lý Pythagore trong $\triangle BHF$, ta có:
$BH^2 + HF^2 = BF^2$
Vì $\triangle ABE$ cân tại $A$ nên $AE = AB = 9$ cm.
Vì $\triangle ABC$ vuông tại $A$ nên $AH = AC = 12$ cm.
Áp dụng định lý Pythagore trong $\triangle AHB$, ta có:
$AB^2 + AH^2 = BH^2$
Từ đó, ta có:
$BH^2 = AB^2 + AH^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
Vậy $BH = 15$ cm.
Áp dụng định lý Pythagore trong $\triangle BHF$, ta có:
$15^2 + HF^2 = BF^2$
Vì $AE = AF = 9$ cm, nên $BF = 2 \cdot AF = 2 \cdot 9 = 18$ cm.
Từ đó, ta có:
$15^2 + HF^2 = 18^2$
$225 + HF^2 = 324$
$HF^2 = 324 - 225 = 99$
Vậy $HF = \sqrt{99} = 3\sqrt{11}$ cm.
Diện tích $\triangle BHF$ là:
$S_{BHF} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot HF = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 3\sqrt{11} = \frac{45\sqrt{11}}{2}$ cm$^2$.