Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số A(x, y) = x^2 + 2y^2 + 2xy + 2x - 4y + 2013.

Để làm điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông.

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng biểu thức A có thể viết lại thành:
A = (x^2 + 2xy + x) + (2y^2 - 4y) + 2013
= (x^2 + 2xy + x + y^2 - 2y + 1) + (y^2 - 2y + 1) + 2011
= (x + y + 1)^2 + (y - 1)^2 + 2011.

Ta thấy rằng biểu thức A được biểu diễn dưới dạng tổng của 3 số không âm: (x + y + 1)^2, (y - 1)^2 và 2011. Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của A sẽ là 2011 khi (x + y + 1)^2 = (y - 1)^2 = 0.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi x + y + 1 = 0 và y - 1 = 0, tức là x = -1 và y = 1.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 2011 khi x = -1 và y = 1.