Để chứng minh rằng biểu thức 1/4x - x² + 2 luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến x, ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông.

Biểu thức đã cho: 1/4x - x² + 2

Ta có thể viết lại biểu thức trên dưới dạng: -x² + 1/4x + 2

Để hoàn thành khối vuông, ta cần thêm vào biểu thức trên một số hạng sao cho nó có thể biểu diễn dưới dạng của một khối vuông. Để làm điều này, ta cần thêm vào biểu thức trên một số hạng có dạng (a/2)², trong đó a là một số thực bất kỳ.

Ta có thể viết lại biểu thức trên dưới dạng: -x² + 1/4x + 2 + (a/2)²

Biểu thức mới này có thể biểu diễn dưới dạng của một khối vuông, nếu ta chọn a = 1/2.

Vậy, ta có thể viết lại biểu thức ban đầu dưới dạng: -(x - 1/2)² + 2 + (1/2)²

Biểu thức mới này có dạng -(x - 1/2)² + 2 + 1/4

Ta có thể viết lại biểu thức mới dưới dạng: -(x - 1/2)² + 9/4

Vì (x - 1/2)² luôn không âm, nên -(x - 1/2)² luôn không dương.

Vậy, ta có thể kết luận rằng biểu thức 1/4x - x² + 2 luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến x.