Tìm một cơ sở và số chiều của không gian vectơ con sinh bởi hệ vectơ sau trong R -không gian vectơ IR4

----- Nội dung dịch tự động từ ảnh -----
Tên học phần: Đại số tuyến tính
Mã học phần: 3190260
De so: 04
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA: TOÁN
BỘ MÔN: ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC
ĐỀ THI CUỐI KỲ
Số tín chỉ: 03
Thời gian: 90 phút
– Sinh viên không được sử dụng tài liệu khi làm bài.
D Sinh viên được sử dụng tài liệu khi làm bài.
Câu 1 (1.5 điểm). Tìm một cơ sở và số chiều của không gian vectơ con sinh bởi hệ vectơ sau
trong R -không gian vectơ IR4.
(u) = {u₁ = (1,-1,2,0); u₂ = (2, -3,-1,-6); uz = (3, 0, 1, -2); U4 = (4, 2, -3, −5)}.
Câu 2 (2 điểm). Trong R-không gian vectơ 3 cho hai cơ sở
(e) = {e₁ = (1,2,3), e₂ = (0,1,-1), e3 = (2,1,10)}
(u) = {u₁ = (-1,1,4), u₂ = (1,0,2), u3 = (-1,1,3)}
a) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ (e) sang (u).
b) Cho x = eq – ez + 3eg. Tìm tọa độ của x đối với cơ sở (u).
Câu 3 (2 điểm). Ký hiệu M, là R-không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2. Xét ảnh xạ
f: M₂ → M₂
A
1 = [a b] → f(A) = [² (a = d)
3b
a) Chứng minh f là một phép biến đổi tuyến tính trên Mỹ.
b) Tìm Ker(f) và dim(Ker f ) .
C
afal
Câu 4 (2.5 điểm). Cho phép biến đổi tuyển tính f: IR3 → R3 xác định bởi
f(x₁, x2, x3) = (-2x₁ + x3, x2 + 2x3,2x2 + x3).
Tìm một cơ sở của T3 sao cho ma trận của / đối với cơ sở này có dạng chéo.
Câu 5 (2 điểm). Trong R-không gian vectơ IR3 cho dạng toàn phương có biểu thức tọa độ đối
với cơ sở (e)= {evez, eg} như sau
w(x)= x² + 5x2 + 8x² + 4x₁x₂ − 8x₁ x3 - 10x2x3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc. Tìm ma trận
chuyên cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó.
Tổng cộng có: 05 câu
Đà Nẵng, ngày 05 tháng 06 năm 2023
TRƯỞNG BỘ MÔN
l
Drammer
PGS.TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH