Để giải hệ phương trình này, chúng ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

Bước 1: Gọi căn(x^2 + y^2) = a và căn(2xy) = b. Ta có hệ phương trình sau:
a + b = 8
2 căn(x) + căn(y) = 4

Bước 2: Bình phương cả hai vế của phương trình thứ hai:
(2 căn(x) + căn(y))^2 = 4^2
4x + 2 căn(xy) + 2 căn(xy) + y = 16
4x + 2b + 2b + y = 16
4x + 4b + y = 16

Bước 3: Thay a và b vào phương trình trên:
4x + 4 căn(x^2 + y^2) + y = 16

Bước 4: Bình phương cả hai vế của phương trình thứ nhất:
(a + b)^2 = 8^2
a^2 + 2ab + b^2 = 64

Bước 5: Thay a và b vào phương trình trên:
(x^2 + y^2) + 2 căn(x^2 + y^2) + 2xy = 64

Bước 6: Gọi căn(x^2 + y^2) = c. Ta có hệ phương trình sau:
c + 2c + 2xy = 64
4x + 4c + y = 16

Bước 7: Giải hệ phương trình này bằng cách loại bỏ biến y:
4c + y = 16 - 4x
y = 16 - 4x - 4c

Bước 8: Thay y vào phương trình trên:
c + 2c + 2x(16 - 4x - 4c) = 64
3c + 32x - 8x^2 - 8cx = 64
-8x^2 + (32 - 8c)x + 3c - 64 = 0

Bước 9: Giải phương trình bậc hai trên:
Để giải phương trình này, chúng ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai hoặc sử dụng máy tính để tìm nghiệm.

Sau khi tìm được các giá trị của x, ta có thể tính được giá trị tương ứng của y bằng cách thay x vào phương trình y = 16 - 4x - 4c.

Vậy, giải hệ phương trình đã cho sẽ cho ta các giá trị của x và y.