Để chứng minh i là trung điểm của CK, ta cần chứng minh rằng i nằm trên đường thẳng CK và i chia CK thành hai phần bằng nhau.

Gọi F là trung điểm của AC. Ta có DF || BC (do DE || BC và DK = DE), và DF = 1/2 BC (do F là trung điểm của AC).

Khi đó, ta có hai tam giác BDE và ADF đồng dạng (có hai cạnh tương ứng song song và tỉ lệ giữa các cạnh bằng nhau). Do đó, ta có:

BD/AD = DE/DF = 1/2

Từ đó, ta có BD = 1/2 AD.

Gọi i' là trung điểm của CK. Ta cần chứng minh rằng i' = i.

Ta có i' là trung điểm của CK nên i' chia CK thành hai phần bằng nhau. Ta cần chứng minh rằng i' cũng chia AE thành hai phần bằng nhau.

Gọi H là trung điểm của AE. Ta có DH || CK (do DE || BC và DK = DE), và DH = 1/2 CK (do H là trung điểm của AE).

Khi đó, ta có hai tam giác BDE và ADH đồng dạng (có hai cạnh tương ứng song song và tỉ lệ giữa các cạnh bằng nhau). Do đó, ta có:

BD/AD = DE/DH = 1/2

Từ đó, ta có BD = 1/2 AD.

Vậy, i' là trung điểm của AE. Tuy nhiên, i' cũng là trung điểm của CK, nên i' = i.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng i là trung điểm của CK.