Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Chứng minh rằng: 1/AB^2 + 1/AC^2 nhỏ hơn hoặc bằng 1/AD^2

Ta có tam giác vuông ABC, với đường phân giác AD.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:
AB² + AC² = BC²

Áp dụng định lý phân giác trong tam giác ABC, ta có:
BD/DC = AB/AC

Từ đó, ta có:
BD = AB * (DC/AC)
CD = AC * (BD/AB)

Thay BD và CD vào công thức BC² = AB² + AC², ta được:
AB² * (DC/AC)² + AC² * (BD/AB)² = AB² + AC²

Chia cả hai vế của phương trình trên cho AB² * AC², ta được:
(DC/AC)² + (BD/AB)² = 1/AB² + 1/AC²

Vì AD là đường phân giác, nên BD = CD. Từ đó, ta có:
(DC/AC)² + (DC/AB)² = 1/AB² + 1/AC²

Đặt x = DC/AC, y = DC/AB, ta có:
x² + y² = 1/AB² + 1/AC²

Vậy, ta có:
1/AB² + 1/AC² ≥ x² + y²

Tuy nhiên, x và y là các số không âm, nên x² + y² ≥ 0.

Vậy, ta có:
1/AB² + 1/AC² ≥ 0

Do đó, ta có:
1/AB² + 1/AC² ≥ 1/AD²

Vậy, ta đã chứng minh được rằng 1/AB² + 1/AC² nhỏ hơn hoặc bằng 1/AD².