a) Ta có tam giác ABC cân tại A, nên AB = AC.
Vì BM là đường cao của tam giác ABC, nên tam giác ABM cũng cân tại A, do đó AM = AB.
Tương tự, ta có tam giác ACM cân tại A, nên AM = AC.
Từ đó, ta có AM = AB = AC.
Vậy tam giác AMB và tam giác ANC là tam giác cân cùng đỉnh A, nên ta có:
∠AMB = ∠ANC và ∠ABM = ∠ACN.

b) Ta đã chứng minh trong câu a) rằng AM = AB = AC.
Vì BM là đường cao của tam giác ABC, nên ta có BM ⊥ AC.
Do đó, BM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên BM chia AC thành hai đoạn bằng nhau.
Tương tự, ta có CM ⊥ AB và CM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên CM chia AB thành hai đoạn bằng nhau.
Vậy ta có CM = HB = HC.

c) Ta đã chứng minh trong câu b) rằng CM = HB = HC.
Khi đó, ta có tam giác MCE là tam giác cân cùng đỉnh C, nên đường trung tuyến MN của tam giác MCE cắt CM tại điểm trung điểm của CM, kí hiệu là N.
Vì ME // CN, nên ta có ∠EMB = ∠MNC.
Vì CM = MN, nên ta có ∠MNC = ∠MCN.
Từ đó, ta có ∠EMB = ∠MCN.
Vậy ta có tam giác AMB và tam giác ACN có cặp góc tương đồng, nên ta có:
∠AMB = ∠ACN và ∠ABM = ∠CAN.