a) Vì tam giác ABC cân tại A, nên AB = AC. AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC và chia BC làm đôi. Do đó, tam giác AHB và tam giác AHC cùng có góc vuông tại H, cạnh huyền bằng nhau và cạnh góc vuông bằng nhau. Vậy theo định lý góc cạnh góc, ta có tam giác AHB = tam giác AHC.

b) Vì M là trung điểm của AC nên AM = MC. Ta có CE song song với AB và cắt BM tại E. Do đó, theo định lý hai đường chéo của hình bình hành chia nhau đôi, ta có BE = EM. Vì AM = MC và BE = EM nên theo định lý hai đường chéo của hình thang cân chia nhau đôi, ta có AE = EC. Vậy tam giác ACE cân tại C.

c) Ta có AB + BC > 2AC (bất đẳng thức tam giác). Vì M là trung điểm của AC nên AC = 2AM. Do đó, AB + BC > 4AM. Vì I là giao điểm của AH và BE nên IM là trung trực của AM (do AH vuông góc với BC và BE song song với AB). Do đó, AM = 2IM. Thay vào bất đẳng thức trên, ta được AB + BC > 8IM. Chia hai vế cho 4, ta được AB + BC > 6IM.