a) Tứ giác ANMP là hình bình hành.

Vì MN // AC và MP // AB, ta có các cặp góc đồng quy: ∠MNP = ∠ACB và ∠NMP = ∠ABC.

Do tam giác ABC vuông tại A, nên ∠ACB = 90°.

Vậy ta có: ∠MNP = ∠ACB = 90° và ∠NMP = ∠ABC.

Tứ giác ANMP có hai cặp góc đồng quy, nên là hình bình hành.

b) Để độ dài đoạn thẳng NP là nhỏ nhất, điểm M cần nằm ở trung điểm của cạnh BC.

Giả sử điểm M nằm ở trung điểm của cạnh BC, ký hiệu là D. Ta có:

BD = CD (vì D là trung điểm của BC)

∠BDM = ∠CDM = 90° (vì tam giác ABC vuông tại A)

Do đó, tam giác BDM và CDM là tam giác vuông cân.

Vì MN // AC và MP // AB, nên ta có:

∠MNP = ∠ACB = 90°

∠NMP = ∠ABC

Vậy, ta có tam giác NMP là tam giác vuông cân.

Do đó, ta có NP = MP (vì tam giác NMP là tam giác vuông cân).

Vậy, để độ dài đoạn thẳng NP là nhỏ nhất, điểm M cần nằm ở trung điểm của cạnh BC.