a) Ta có tam giác ABC cân tại A nên AH là đường cao của tam giác ABC. Vì vậy, AH vuông góc với BC.
Ta có HM vuông góc với AB và HN vuông góc với AC. Vì vậy, HM và HN là hai đường cao của tam giác ABC.
Do đó, ta có MN//BC.

b) Ta có:
AH^2 + BH^2 = AB^2 (theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABH)
AN^2 + HN^2 = AC^2 (theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông ANH)
Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
Do đó, ta có:
AH^2 + BH^2 = AN^2 + HN^2
Vì MN//BC nên tam giác BMN cũng cân tại M.
Vì vậy, ta có BM = MN.
Do đó, ta có:
AH^2 + BM^2 = AN^2 + HN^2