Để chứng minh AE = AF, ta cần chứng minh tam giác ABE và tam giác ACF đồng dạng.

1. Chứng minh tam giác ABE và tam giác ACF đồng dạng:
Ta có:
∠ABE = ∠ACF (vuông góc)
∠BAE = ∠CAF (góc đối)
Vậy, theo góc - góc, ta có tam giác ABE và tam giác ACF đồng dạng.

Do đó, ta có AE/AB = AF/AC. Mà AB = AC (hình thoi), nên AE = AF.

2. Chứng minh tam giác AEF đều:
Ta có:
∠BAE = ∠CAF (góc đối)
∠EAF = ∠EAB + ∠BAE + ∠CAF = 90° + 60° + 60° = 210°
Vậy, tam giác AEF có 3 góc bằng nhau, nên là tam giác đều.

3. Tính chu vi tam giác AEF:
Vì tam giác AEF là tam giác đều, nên AE = AF = EF.
Gọi x là độ dài cạnh của tam giác AEF.
Ta có: AE + EF + AF = AE + x + AE = 2AE + x = 16 cm (BD = 16 cm)
Vì AE = AF, nên 2AE + x = 2AF + x = 16 cm.
Do đó, chu vi tam giác AEF là 16 cm.