Để chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một tứ diện đều, ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình học và đối xứng.

Giả sử hình tứ diện đều có các đỉnh là A, B, C, D và tâm của các mặt lần lượt là M, N, P, Q. Ta cần chứng minh rằng tứ diện MNPQ là một tứ diện đều.

Đầu tiên, ta sẽ chứng minh rằng các đoạn thẳng AM, BN, CP, DQ đồng chiều. Ta biết rằng hình tứ diện đều là một hình đối xứng với mặt phẳng đi qua tâm của tứ diện. Do đó, ta có AM = AN, BN = BP, CP = CQ, DQ = DM. Từ đó, ta có thể suy ra rằng các đoạn thẳng AM, BN, CP, DQ đồng chiều.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng tứ diện MNPQ là một tứ diện đều. Để làm điều này, ta cần chứng minh rằng các góc giữa các cạnh của tứ diện này đều bằng nhau.

Ta biết rằng AM = AN, BN = BP, CP = CQ, DQ = DM. Do đó, ta có thể suy ra rằng các tam giác AMN, BNP, CPQ, DQM là các tam giác đều. Từ đó, ta có thể suy ra rằng các góc MAN, MBN, NCP, PDQ đều bằng nhau.

Vì tứ diện MNPQ có các góc giữa các cạnh bằng nhau và các cạnh đồng chiều, nên ta có thể kết luận rằng tứ diện MNPQ là một tứ diện đều.

Vậy, ta đã chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một tứ diện đều.