Gọi hai số lẻ là x và y. Theo đề bài, ta có:

x + y = 690 (1)

Vì giữa hai số đó có 10 số chẵn liên tiếp, ta có thể gọi số chẵn đầu tiên là a. Vậy số chẵn thứ hai là a + 2, số chẵn thứ ba là a + 4, và cứ tiếp tục như vậy. Số chẵn thứ 10 là a + 18.

Tổng của 10 số chẵn liên tiếp này là:

(a + a + 2 + a + 4 + ... + a + 18) = 10a + 90

Vì tổng của hai số lẻ là 690, ta có:

2x + 10a + 90 = 690

2x + 10a = 600 (2)

Giải hệ phương trình (1) và (2), ta có:

x + y = 690
2x + 10a = 600

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 2, ta có:

2x + 2y = 1380

Trừ phương trình (2) từ phương trình trên, ta có:

2y - 10a = 780

Chia cả hai vế của phương trình trên cho 2, ta có:

y - 5a = 390

Từ đó, ta có hệ phương trình:

2y - 10a = 780
y - 5a = 390

Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta có:

2y - 10a = 780
2y - 10a = 780

Vậy, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:

y = 195
a = 39

Thay a = 39 vào phương trình (2), ta có:

2x + 10a = 600
2x + 10(39) = 600
2x + 390 = 600
2x = 210
x = 105

Vậy, hai số lẻ là 105 và 195.