Cho đường tròn(O;R) và điểm M nằm ở miền trong đường tròn. Qua M kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại M. Chứng minh:a)MA^2 + MB^2 + MC^2 +MD^2=4R^2b)Tổng AB^2 + CD^2 khi các dây AB và CD thay đổi và luôn vuông góc với nhau tại M

Để chứng minh a) và b), ta sử dụng định lý Pythagoras và định lý hình học về đường tròn.

a) Ta có:
- Gọi E là giao điểm của AB và CD.
- Theo định lý Pythagoras, ta có: MA^2 + MB^2 = AE^2 và MC^2 + MD^2 = CE^2.
- Gọi O là tâm đường tròn (O;R). Ta có: OE = R.
- Theo định lý hình học về đường tròn, ta có: AE x CE = ME x DE = OE^2 - ME^2 = R^2 - ME^2.
- Tương tự, ta có: BE x DE = ME x CE = OE^2 - ME^2 = R^2 - ME^2.
- Từ đó, ta có: AE x CE + BE x DE = 2R^2 - 2ME^2.
- Nhưng AE x CE + BE x DE = AB x CD (do AB và CD vuông góc với nhau tại M).
- Vậy, ta có: AB x CD = 2R^2 - 2ME^2.
- Từ đó, ta suy ra: MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2 = AE^2 + BE^2 + CE^2 + DE^2 = AB^2 + CD^2 = 4R^2.

b) Ta đã chứng minh trong a) rằng AB x CD = 2R^2 - 2ME^2.
- Vì AB và CD là hai dây cung vuông góc với nhau tại M, nên AB x CD là hằng số.
- Vậy, tổng AB^2 + CD^2 cũng là hằng số khi các dây AB và CD thay đổi và luôn vuông góc với nhau tại M.